АСЛАНОВ Рамиз Муталлим оглы

 

МЕТОДИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ОБУЧЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ В ПЕДВУЗЕ

 

13.00.02 - теория и методика обучения математике

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора педагогических наук

Москва 1997

Работа выполнена в Московском педагогическом государственном университете на кафедре информатики и дискретной математики.

 

 

 

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ИССЛЕДОВАНИЯ

Актуальность исследования. Проблемы подготовки учителя мате­матики в педвузах постоянно находятся в зоне повышенного внимания исследователей, занимающихся проблемами математического образова­ния в России и других странах СНГ. Среди них разработка крупной комплексной темы "Исследование новых принципов и перспективных технологий подготовки учителя в условиях непрерывного педагогиче­ского образования" (руководитель темы - академик РАО Матросов В.Л.). В МПГУ создан научно-методический центр высшего педагогического образования, была разработана концепция исследования, центральное место в которой занимает анализ личности учителя, его социально-педагогические, психологические и физические качества. Значительное место в концепции занимает разработка информационных технологий обучения и управления образованием.

Это связано прежде всего с тем, что концепция школьного курса математики уже не отвечает социальному заказу современного общест­ва. Не случайны поэтому активные поиски новых концепций школь­ного курса математики и, как следствие, активные поиски новых подхо­дов к подготовке учителя математики в педвузах. Достаточно указать на ряд докторских диссертаций, посвященных этой проблеме и защи­щенных в последние годы. Это работа А.Г.Мордковича, где сформу­лирована концепция профессионально-педагогической направленности математической подготовки учителя, работа Г.Л.Луканкина, в которой в комплексе выявлены научно-методические основы подготовки учителя, работа Г.Г.Хамова, который выстроил методическую систему алгеб­раической подготовки учителя математики, работа Э.И.Кузнецова, где раскрываются общеобразовательные и профессионально-прикладные аспекты изучения информатики и вычислительной техники в педагогиче­ском институте, работа Н.Л.Стефановой, где проанализированы теоре­тические основы системы методической подготовки учителя математики в педвузах.

Мы из всего блока вопросов математической подготовки учителя математики в педагогических институтах и университетах выбрали курс дифференциальных уравнений. Этот выбор объясняется не только математической специализацией автора исследования, но и рядом объективных обстоятельств. Раскроем их.

Математический анализ в целом занимает одно из ведущих мест в математической подготовке учителя. Дело даже не в том, что элементы

математического анализа в той или иной степени входят в программу школьного курса математики или факультативных курсов. Дело в том, что идеи и методы анализа в явной или неявной форме пронизывают, например, весь школьный курс алгебры 7-11, одной из приоритетных содержательно-методических линий которого является функционально-графическая линия. Но традиционно сложилось так, что исследовате­ли, занимающиеся проблемами профессионально-ориентированной по­становки курса математического анализа в педвузах, уделяют внимание лишь начальным разделам анализа (функция, предел, производная, ин­теграл). Мало работ, оценивающих значение теории рядов для станов­ления учителя математики, функций многих переменных, мало исследо­ваний, связанных с курсом дифференциальных уравнений. Отдельные рекомендации, но ориентированные только на то, что курс дифференци­альных уравнений рассматривается как раздел курса математического анализа, можно найти в докторских диссертациях Г.Л.Луканкина, А.Г.Мордковича, Ю.В.Сидорова, М.И.Шабунина, кандидатских диссер­тациях Т.И.Глушковой, К.Сурганова. Особо отметим кандидатские диссертации Х.А.Гербекова и Б.А.Найманова.

Х.А.Гербеков выстроил концепцию изучения базового курса диф­ференциальных уравнений, но в рамках единого курса математического анализа; до обсуждения проблем специального курса дифференциальных уравнений дело не дошло. Б.А.Найманов исследовал прикладную на­правленность курса дифференциальных уравнений, но опять же только в рамках единого курса математического анализа.

В последнее время при обсуждении проблем школьного математи­ческого образования все чаще звучит тезис о гуманитарном (общекуль­турном) потенциале школьного курса математики. Этот тезис положен в основу новых учебников по математике для 5-6 классов под редакцией Г.В.Дорофеева и И.Ф.Шарыгина, учебника по алгебре для 7 класса А.Г.Мордковича. Вкратце концепция последнего учебника сводится к следующему: математика изучает математические модели реальных про­цессов, а модели описываются на математическом языке, значит, надо изучать математический язык, чтобы с его помощью успешно работать со все более и более сложными моделями. Умение составлять математи­ческие модели реальных процессов и работать с ними, используя адек­ватные средства, - составная часть общей культуры человека, особенно в наше время, в период активной математизации различных отраслей зна­ний.

Разделяя эту концепцию, мы в то же время вынуждены констатиро­вать: к ее реализации современный учитель не совсем подготовлен, по­скольку в период обучения студентов в стенах педвуза гуманитарная со­ставляющая математических курсов далеко не всегда выводится на пер­вый план. В этой связи особенно велика роль курса дифференциальных уравнений, где, по сути дела, математическая модель и математический язык - ключевые слова; не зря ведь считают, что вся природа "говорит" на языке дифференциальных уравнений.

Представления о математическом моделировании в настоящее время приобретают общекультурную и общеобразовательную ценность и открывают возможности для формирования у студентов представле­ний о роли моделей и моделирования не только в математике, но и в фи­зике, химии, биологии, экологии, географии, экономике и т.д.

В методической литературе часто предлагается начинать изложе­ние новых теорий с проблем практики, породивших эти теории, а после логического построения теорий указывать области их приложения. Пре­имущества такого подхода хорошо известны. Особенно удачно этот под­ход может быть осуществлен в преподавании курса "Дифференциальные уравнения".

Теория дифференциальных уравнений широко применяется в раз­личных областях науки. Простейшее дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными описывает и процесс изменения атмо­сферного давления в зависимости от высоты над уровнем океана, и про­цесс распада радия, и процесс изменения народонаселения, и процесс ох­лаждения тела и т.д.

Множество разнообразных примеров, иллюстрирующих примене­ние теории линейных дифференциальных уравнений, дают радиоприбо­ры. Неизвестными функциями времени в этом случае являются величины токов, проходящих через различные детали прибора, или падения на­пряжения между отдельными узлами прибора. Для решения таких урав­нений характерны тригонометрические (или гармонические) колебания. При решении задач можно провести простейший качественный анализ построенного общего решения, установить соответствие устойчивых решений модели реальной картине "установившегося режима" в работе прибора.

Решение уравнений с параметрами можно проиллюстрировать мо­делями, описывающими динамику развития взаимодействующих биоло­гических популяций (например, модель Вольтерра - Лотка). Интересны студентам будут и модные сегодня экономические модели.

Изучение дифференциальных уравнений на примерах из приложе­ний внесет разнообразие в занятия, даст почву для развития воображе­ния и мышления, покажет студентам, что абстрактность дифференци­альных уравнений является средством изучения явлений природы с по­мощью математических моделей.

Курс дифференциальных уравнений играет большую роль в фун­даментальной подготовке будущего учителя в плане формирования у студента научного мировоззрения, определенного уровня математиче­ской культуры, определенного уровня методической культуры, особенно по таким компонентам; как понимание сущности прикладной и практи­ческой направленности обучения математике, овладение методом мате­матического моделирования, умение осуществлять в обучении межпред­метные связи. К числу компонентов гуманитарного потенциала курса дифференциальных уравнений в педвузе, кроме вышеперечисленных, мы относим также профессионально-педагогическую направленность этого курса, причем, по сравнению с другими разделами математического ана­лиза, здесь скрыты наибольшие возможности для полноценной реализа­ции профессионально-педагогической направленности обучения, по­скольку студент подходит к изучению курса дифференциальных уравне­ний уже изучив, в основном, курс методики преподавания математики, пройдя первую педагогическую практику. Это налагает на преподавате­ля курса дифференциальных уравнений особые обязанности по реализа­ции в курсе принципа бинарности - наиболее адекватного соединения собственно математической (общенаучной) и методической линий.

Изучение курса дифференциальных уравнений и его методов дает еще один инструмент для познания мира, в котором мы живем, позволя­ет сформировать образное и научное представление о реальном физиче­ском пространстве.

Таким образом, актуальность темы нашего исследования объясня­ется тем, что:

- математический анализ в целом и курс дифференциальных урав­нений в частности вносят очень весомый вклад в математическое обра­зование будущего учителя;

- имеется сравнительно немного исследований, посвященных про­блемам постановки в педвузах курса дифференциальных уравнений, но во всех таких исследованиях этот курс рассматривается как раздел курса математического анализа; не учитывается тенденция выделения этого курса в самостоятельную учебную дисциплину;

- достаточно велик я требует специального осмысления и исследо­вания гуманитарный (общекультурный) и, в частности, профессиональ­но-педагогический потенциал курса дифференциальных уравнений.

Проблему исследования можно сформулировать следующим обра­зом. Курс дифференциальных уравнений, с одной стороны, весьма абст­рактен, со своей спецификой, со своей терминологией, со своими моде­лями, зачастую довольно тонкими. Изучая этот курс, студент часто теря­ет ориентиры, не понимает, для чего все это нужно будущему учителю. С другой стороны, курс дифференциальных уравнений - один из самых вы­игрышных в деле осознания будущим учителем сущности математики, ее прикладной направленности, воспитательного значения. Налицо проти­воречие между гуманитарным потенциалом курса и тем, что обычно по­лучает студент на выходе по окончании изучения курса. Проблемой ис­следования является разрешение этого противоречия.

Цель исследования состоит в разработке профессионально-ориентированной методической системы изучения курса дифференци­альных уравнений в педвузах и путей ее реализации в практике препода­вания.

Объект исследования - математическая подготовка будущих учите­лей в педагогических институтах и университетах.

Предмет исследования - гуманитарная и профессионально-педагогическая направленность обучения дифференциальным уравнени­ям в педвузах.

Проблема и цель определили необходимость решения следующих задач исследования, которые распределены по двум группам.

Первая группа задач:

1. Выявить методологические составляющие курса дифференци­альных уравнений в педвузах, выявить возможности курса дифференци­альных уравнений в деле обучения будущих учителей математики спосо­бам осуществления прикладной направленности преподавания и форми­рования у будущих учителей математики правильных представлений о математическом моделировании реальных процессов, о межпредметных связях, их месте, значении и способах реализации в учебном процессе.

2. Выявить пути реализации концепции профессионально-педагогической направленности обучения математике будущих учителей в курсе дифференциальных уравнений.

3. Разработать концепцию и программу курса дифференциальных уравнений для педвузов, профессионально ориентированную и в макси-

мольной степени раскрывающую гуманитарный потенциал курса, наме­тить пути для ее реализации в методической системе обучения.

4. Выявить возможности курса дифференциальных уравнений в де­ле приобщения студентов к научно-исследовательской работе (в частно­сти, через систему спецкурсов, спецсеминаров, курсовых и дипломных работ).

Решению этих задач посвящена первая глава диссертации.

Вторая группа задач:

1. Учитывая специфику курса дифференциальных уравнений, ис­следовать новые формы изложения материала в учебном пособии для студентов.

2. Наметить пути использования новых информационных техноло­гий в процессе преподавания курса дифференциальных уравнений.

Решению этих задач посвящены вторая, третья и четвертая главы диссертации.

Гипотеза исследования состоит в том, что реализация разработан­ной концепции курса дифференциальных уравнений в педагогических институтах в университетах позволит:

- повысить качество преподавания курса дифференциальных урав­нений на математических факультетах;

- сформировать у студентов правильные представления о гумани­тарном потенциале курса дифференциальных уравнений, включающем в себя методологическую и прикладную направленность курса, математи­ческое моделирование, межпредметные связи;

- раскрыть профессионально- педагогическое значение курса диф­ференциальных уравнений.

Были использованы следующие методы исследования: анализ фи­лософской, психолого-педагогической, математической и методической литературы, работ по истории математики и истории методики препода­вания математики, школьных и вузовских программ по математике, учебников и учебных пособий; массовые проверки уровня математиче­ской подготовки студентов педвузов; беседы с преподавателями вузов, учителями общеобразовательных школ, студентами и школьниками; изучение и обобщение педагогического опыта; поисковые и констати­рующие эксперименты по проверке отдельных методических положений работы. Выполняя исследование, автор руководствовался методологией системного подхода. Психолого-педагогическую основу исследования составили концепции воспитывающего и развивающего обучения, кон-

цепния обучения деятельности, концепция профессионально-педагогиче­ской направленности обучения математике будущих учителей. -

Научная новизна проведенного исследования заключается в том, что в нем впервые на основе комплексного анализа психолого-педагогических и методико-математических аспектов проблемы выдви­нута целостная профессионально ориентированная концепция курса дифференциальных уравнений в педвузах, в максимальной степени реа­лизующая богатый гуманитарный потенциал этого курса, реализованная в новой программе и учебных пособиях.

Практическая значимость полученных результатов обусловлена прежде всего созданием учебных пособий нового типа для занятий по курсу обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциаль­ных уравнений с частными производными, которые уже внедрены в практику преподавания в педвузах. Кроме того, в диссертации содер­жатся конкретные рекомендации по реализации в курсе дифференциаль­ных уравнений методологических и методических аспектов, по усилению профессионально-педагогической направленности курса, по использова­нию новых информационных технологий.

На защиту выносятся:

- общая концепция изучения курса дифференциальных уравнений в педвузе;

- программа курса дифференциальных уравнений;

- формы и методы изучения курса дифференциальных уравнений;

- новый тип учебного пособия по курсу дифференциальных урав­нений;

- рекомендации по использованию в курсе дифференциальных уравнений новых информационных технологий.

Достоверность и обоснованность полученных результатов обеспечи­ваются опорой на базовые положения педагогики и психологии высшей школы, учетом современных достижений в области дидактики, комплек­сом методов педагогического исследования, адекватных его объекту, предмету, цели, задачам и логике, преемственностью и взаимосвязанно­стью результатов, полученных на разных этапах исследования.

Апробация и внедрение результатов исследования. Результаты ис­следования нашли отражение в монографиях, учебных пособиях, мето­дических рекомендациях, научных статьях, докладах, тезисах, програм­мах, опубликованных в разные годы в Баку, Гяндже, Москве, Санкт-Петербурге, Челябинске, Липецке, Ярославле, Ульяновске, Рязани, Че­боксарах, Коломне, Елабуге, Орске. Результаты исследования доклады-

10

вались и обсуждались на Международном научном конгрессе студентов, аспирантов и молодых ученых "Молодежь и наука - третье тысячелетие" (Москва, 1996 г.), Международной конференции "Подготовка препода­вателей математики и информатики для высшей и средней школы" (Москва, 1994 г.), XXXII научной конференции факультета физико-математических и естественных наук Российского Университета Дружбы Народов (Москва, 1996 г.), на Всероссийском семинаре преподавателей математики педвузов в период 1990-1996 гг. (Ярославль, Ульяновск, Ли­пецк, Рязань, Чебоксары, Коломна, Елабуга, Орск, Санкт-Петербург).

С 1987 года в России развернуто комплексное межвузовское иссле­дование на тему "Профессионально-педагогическая направленность подготовки учителя", работает межвузовский семинар преподавателей математики пединститутов и педуниверситетов (руководитель семинара - проф. Мордкович А.Г.). В работе семинара принимают участие и пред­ставители педвузов некоторых республик СНГ: Молдовы, Украины, Бе­ларуси, Казахстана. Представителем Азербайджана в семинаре является автор настоящего исследования. Многие результаты нашего исследова­ния не только прошли апробацию в рамках указанного семинара, но и зачастую представляют собой обобщение и осмысление опыта работы ведущих педвузов по интересующей нас проблеме, изученного в ходе се­минаров. К числу этих педвузов и педуниверситетов мы относим в пер­вую очередь МПГУ, МПУ, МГОПУ, РГПУ, АПГУ, Красноярский, Бар­наульский, Рязанский, Ярославский, Пермский, Пензенский, Липецкий, Челябинский, Гянджинский, а также Павлодарский пединститут (Казахстан).

С докладами и сообщениями по результатам исследования автор выступал на научных и научно-практических конференциях по пробле­мам подготовки будущих учителей математики средней и высшей школы (Баку, Гянджа), на районных совещаниях (Балакен, Закатала, Гах, Даш-кесан и др.), на ежегодных научных конференциях Гянджинского госу­дарственного педагогического института, а также на заседаниях кафедр математического анализа, методики преподавания математики и кафед­ры информатики и дискретной математики МПГУ. В исследовании обобщен и систематизирован двадцативосьмилетний опыт работы авто­ра в педагогическом институте.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы и приложений.

и

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

Во введении дана общая характеристика работы, обоснована ак­туальность выбранной темы, сформулированы объект, предмет, науч­ная проблема, основная цель и вытекающие из нее конкретные задачи и методы исследования, представлены гипотеза исследования, научная новизна, определены практическая значимость, положения, которые выносятся на защиту.

В первой главе проведено исследование профессионально-педаго­гической направленности курса дифференциальных уравнений. Первый параграф посвящен раскрытию гуманитарного потенциала курса диф­ференциальных уравнений. Одной из главных целей математической подготовки учителя математики в педагогическом институте или уни­верситете считается воспитание у студентов научного мировоззрения. Из всех разделов классического математического анализа наиболее эф­фективным в смысле реализации указанной выше цели является курс дифференциальных уравнений.

В настоящее время можно считать общепризнанным положение о том, что преподавание математики на любой ступени обучения (в шко­ле, лицее, колледже, вузе и т.д.) следует постоянно увязывать с вопро­сами методологии, философии, истории, то есть с тем, что составляет так называемый методологический аспект преподавания. Этот аспект включает в себя, в частности, необходимость постоянного обсуждения в процессе преподавания вопросов, связанных с происхождением и раз­витием математических понятий, роли и многоступенчатого характера математических абстракций, постоянно уточняющегося и расширяю­щегося в сознании учащихся определения предмета математики в про­цессе ее исторического развития, связи математики с реальной жизнью, с общественной деятельностью людей, с ролью критерия практики в математике и, наконец, с раскрытием сущности математизации совре­менного научного знания.

Духовно развивая учащихся, надо формировать у них научное мировоззрение как основу практического отношения к миру. Они должны уметь увидеть за общими понятиями математики конкретные образы реального мира, уметь дать правильный ответ на основной во­прос философии, редуцированный на математику: возникла математи­ка из опыта, наблюдений над реальной действительностью или она не­зависима от реального опыта и является предметом чистого разума.

12

В этом параграфе сделан краткий исторический очерк развития теории дифференциальных уравнений, показывающий неразрывную связь методологии математического естествознания с дифференциаль­ными уравнениями, методологическую направленность курса диффе­ренциальных уравнений. В частности, отмечен вклад в теорию диффе­ренциальных уравнений ученых России, Азербайджана и других стран СНГ.

Существенный вклад в дело формирования у учащихся научного мировоззрения и общей культуры вносит прикладная направленность обучения при правильной ее организации, то есть при такой организа­ции, когда происходит адекватная реализация одного из ведущих принципов обучения - принципа связи обучения с жизнью, теории с практикой; об этом также идет речь в первом параграфе главы первой.

Проблема прикладной направленности обучения математике на­шла широкое отражение в исследованиях математиков и методистов. Ее теоретическое обоснование проведено в работах В.Г.Болтянского, Е.С.Вентцелъ, А.Н.Колмогорова, А.Н.Тихонова, З.И.Халилова, Д.П.Костомарова, Ю.М.Колягина, В.М. Монахова, В.А.Гусева, С.И.Швацбурда, В.В.Фирсова, Г.В.Дорофеева, М.И.Башмакова, И.Ф.Шарыгина, К.К.Пономарева, Н.Я.Виленкина, А.Д.Мышкиса, Л.Д.Кудрявцева, Г.Трелиньски, В.В.Амелькина, А.П.Садовского, И.И.Баврина, А.В.Латышева, Н.А.Терешина, М.С.Сабурова и других.

Практически все упомянутые авторы исследуют вопросы при­кладной направленности обучения математике в школе, не касаясь ву­зовских проблем. Исключение составляют Г.Трелиньски, который в своей докторской диссертации касается вопросов подготовки учителя математики к реализации прикладной направленности обучения в польской школе, и Б.А.Найманов, который в своей кандидатской дис­сертации выделил три компонента прикладной направленности курса дифференциальных уравнений в педвузе:

- конкретизация абстрактных понятий и теоретических знаний;

- взаимосвязь теоретических вопросов математики с приложения­ми математической теории к изучению реальных процессов;

- обучение студентов способам ознакомления школьников с при­кладной направленностью математики.

Опыт Павлодарского пединститута (Казахстан), неоднократно освещавшийся Б.А.Наймановым на заседаниях Всероссийского семи­нара преподавателей математики педвузов, мы использовали в своей практической работе.

13

В докторской диссертации Г.Трелит.ски выделены два сущест­венных понятия: прикладная ориентация материала обучения и при­кладная ориентация обучения математике. Проведен подробный ана­лиз того, в каких пределах студент - будущий учитель - подготовлен в ходе обучения к введению учащихся в приложения математики, охарак­теризованы направления совершенствования этой подготовки.

Значение прикладных задач для подготовки учителя математики можно охарактеризовать по ряду направлений:

- с помощью прикладных задач можно научать учащихся пользо­ваться конкретными математическими фактами;

- решением прикладных задач можно развивать математические способности обучаемых;

- прикладные задачи содержат в себе возможность создания у учащихся научной картины мира и правильных представлений о науч­ных методах познания реальной действительности;

- в процессе решения этих задач можно создать диалектические связи между учебными и исследовательскими методами;

- прикладные задачи выявляют внутренние закономерности изу­чаемых процессов;

- прикладные задачи - одно из эффективных средств для получе­ния новых знаний и т.д.

Таким образом, использование прикладных задач в процессе обу­чения способствует не только пониманию основ науки, но и овладению способами научного познания.

Прикладная направленность курса дифференциальных уравнений связана и с тем, что именно здесь студент получает неоценимый опыт математического моделирования реальных процессов.

Под математической моделью реального процесса понимается обычно приближенное описание этого процесса на языке математики. Искусство математического моделирования состоит в умении перевести реальную задачу на математический язык, перевести адекватно, не те­ряя основных свойств оригинала.

Математические модели вследствие их относительной простоты помогают лучше понять процесс, дают возможность установить каче­ственные и количественные характеристики состояния процесса.

В различных задачах в качестве математических моделей реаль­ных процессов особенно часто выступают дифференциальные уравне­ния, что и обуславливает их значимость в подготовке будущих учите­лей математики.

14

Характер этих задач и методику их решения можно схематически описать так. Происходит некоторый процесс, например, физический, химический, биологический. Нас интересует определенная функцио­нальная характеристика этого процесса, например закон изменения со временем температуры или давления, массы, положения в пространст­ве. Если имеется достаточно полная информация о течении этого про­цесса, то можно попытаться построить его математическую модель. Во многих случаях такой моделью будет дифференциальное уравнение, одним из решений которого является искомая функциональная харак­теристика процесса. Дифференциальное уравнение моделирует процесс в том смысле, что оно описывает эволюцию процесса, характер проис­ходящих с материальной системой изменений, возможные варианты этих изменений в зависимости от первоначального состояния системы.

Изучение любого процесса сводится к определению его отдельных моментов и установлению общего закона его течения.

Отдельный момент процесса (элементарный процесс) выражается дифференциальным уравнением, связывающим переменные величины процесса с их дифференциалами или производными; закон общего те­чения процесса, получаемый после интегрирования, выражается урав­нением, связывающим переменные величины процесса.

Исчерпывающих правил для составления дифференциальных уравнений нет. В большинстве случаев методика решения прикладных задач с применением обыкновенных дифференциальных уравнений сводится к следующему:

1) подробный разбор условий задачи и составление чертежа, по­ясняющего ее суть;

2) составление дифференциального уравнения рассматриваемого процесса;

3) интегрирование этого уравнения и определение его общего ре­шения;

4) определение частного решения задачи на основании данных на­чальных условий;

5) определение по мере необходимости вспомогательных пара­метров (например, коэффициента пропорциональности и т.д.) с исполь­зованием для этой цели дополнительных условий задачи;

6) вывод общего закона рассматриваемого процесса и числовое определение искомых величин;

7) анализ ответа и проверка исходного положения задачи.

15

Способность моделировать является неотъемлемой частью позна­вательной деятельности. Психологические аспекты моделирования за­ключаются в способности сознания отражать внешний мир не во всем его многообразии и полноте внешних и внутренних связей, а огрублен-но в приближенном виде.

Та неполная информация о реальном явлении, которую мы при­обретаем непосредственно через каналы ощущений и восприятий, или опосредованно, опираясь на ранее приобретенные знания, фиксируются в нашем сознании именно в неполном виде как система представлений и образов, которые, по существу, являются моделями. Вследствие это­го, наши представления об окружающем мире носят принципиально модельный характер.

За последнее время все яснее осознается значение модели как про­дукта психической деятельности. При этом модель как мозговое явле­ние рассматривается в самых разнообразных аспектах. Ряд ученых рас­сматривает модели как основной продукт психической деятельности человека в его контакте с окружающей средой. Некоторые исследова­тели придают моделированию в преподавании настолько большую роль, что выделяют его в отдельный принцип. Так, например, В.В.Давыдов, подчеркивая ограниченность традиционного дидактиче­ского принципа наглядности, предлагает заменить его принципом мо­делирования.

Л.М.Фридман, развивая идеи В.В.Давыдова о модельном подходе к изучению математики в средней школе, пишет: "...принцип моделиро­вания в обучении математике означает, во-первых, изучение самого со­держания школьного курса математики с модельной точки зрения, во-вторых, формирование у учащихся умений и навыков математического моделирования различных явлений и ситуаций, наконец, в-третьих, широкое использование моделей как внешних опор для внутренней мыслительной деятельности, для развития научно-теоретического стиля мышления".

Исходя из этого, можно считать обоснованным вывод о том, что обучение будущего учителя математики как непосредственно матема­тическому моделированию реальных процессов, так и методике состав­ления математических моделей, является важным условием профессио­нально-педагогической направленности любого математического курса педвуза и прежде всего курса дифференциальных уравнений.

Через прикладную направленность курса дифференциальных уравнений., через используемое в этом курсе математическое моделиро-

16

вание реальных процессов, мы приходим к естественной (а не искусст­венной) реализации межпредметных связей в процессе изучения курса.

Разработка проблемы межпредметных связей применительно к общеобразовательной средней школе ведется в методике преподавания математики в разных направлениях: совершенствование процесса обу­чения, привитие интереса к учебным дисциплинам, формирование зна­ний и умений школьников. Взаимосвязи близких по содержанию дис­циплин не только обеспечивают повышение качества знаний обучае­мых, но и способствуют подготовке их к применению полученных зна­ний на практике, развивают научный кругозор учащихся.

В последние годы интерес исследователей к реализации межпред­метных связей возрос, но вместе с этим растет количество трактовок этой проблемы. Мы считаем правильным рассматривать межпредмет­ные связи как проявление систематичности, как отражение объективно существующей взаимосвязи природных явлений.

Межпредметные связи способствуют реализации всех функций обучения: образовательной, развивающей и воспитывающей. Эти функции осуществляются во взаимосвязи и взаимно дополняют друг друга.

В педагогических институтах и университетах проблему меж­предметных связей следует рассматривать с двух сторон. Первая из них - это реализация межпредметных связей при изучении конкретного ма­тематического курса для более успешного усвоения самого курса. Вто­рая - это подготовка будущих учителей к реализации межпредметных связей в их дальнейшей самостоятельной работе в школе.

Обобщая все сказанное выше, попытаемся зафиксировать основ­ные направления гуманитарной составляющей курса дифференциаль­ных уравнений в педвузах.

Прежде всего это мировоззренческий, методологический аспект курса дифференциальных уравнений, позволяющий обучаемому сфор­мировать правильные представления об окружающей действительно­сти. В определенной мере этому способствует историке-математическая линия курса.

Далее, следует выделить прикладной аспект курса, напрямую свя­занный с методом математического моделирования и с проблемой реа­лизации в курсе межпредметных связей.

Наконец, дифференциальные уравнения - это язык, на котором говорит природа. Языковой аспект любого математического курса как в школе, так и в педвузе, в последнее время все больше интересует ис-

17

следователей в области методики преподавания математики. Мысль о том, что владение математическим языком составляет часть общей культуры современного человека, в последнее время практически не ос­паривается. Для осознания этой мысли будущим учителем математики значение курса дифференциальных уравнений бесспорно.

Во втором параграфе раскрывается профессионально-педагогиче­ская направленность курса дифференциальных уравнений. Концепция профессионально-педагогической направленности обучения выражает необходимость целенаправленного и непрерывного формирования у студентов основ профессионального мастерства, опирающихся на ак­тивные и глубокие знания школьного курса математики, его научных основ и методического обеспечения, приобретаемых на благоприятном эмоциональном фоне положительного отношения к профессии учителя и к математике как к научной дисциплине и как к учебному предмету. Цель параграфа - оценить значение курса дифференциальных уравне­ний в математической и методической подготовке учителя с профес­сионально-педагогической точки зрения и обосновать соответствую­щие теоретические положения о месте и роли курса в учебном плане педвуза.

В данном параграфе проанализирован вопрос о том, как соотно­сятся цели обучения математике студентов педвузов с возможностями курса дифференциальных уравнений, за основу взята структура целей, предложенная А.Г.Мордковичем (воспитание научного мировоззрения; формирование достаточного для работы в школе уровня математиче­ских знаний, умений и навыков; формирование достаточно высокого уровня математического мышления; обеспечение достаточного опыта математической деятельности).

Одним из непременных условий профессионально-педагогической направленности обучения является положение о том, что основу по­строения математического курса в педвузе должно составлять объеди­нение общенаучной и методической линий - принцип бинарности. Курс дифференциальных уравнений имеет богатые возможности для реали­зации принципа бинарности, причем такая реализация является по сути итоговой, оформляющей становление определенного уровня методиче­ской культуры будущего учителя средствами математического анализа.

На материале курса дифференциальных уравнений можно реали­зовать такие компоненты методической модели математического курса педвуза, предложенные А.Г.Мордковичем и наполненные конкретным содержанием Х.А.Гербековым, как:

18

- мотивация (путем продуманного подбора серии вводных задач, формализация реальных ситуаций которых приводит к новой для сту­дентов математической модели - дифференциальному уравнению);

- пропедевтика (путем выделения линии дифференциальных урав­нений практически во всех разделах курса математического анализа);

- алгоритмическая линия (путем формулировки алгоритмов реше­ния конкретных видов дифференциальных уравнений; таких алгорит­мов в курсе достаточно много);

- обучение студентов математическому моделированию;

- прямое и косвенное обучение студентов принципам дидактики;

- обучение студентов реализации и правильному пониманию внутри- и межпредметных связей;

- критический анализ школьных пособий (по основному и факуль­тативному курсам).

Концепция профессионально-педагогической направленности обучения выдвигает на первый план идею связи конкретного математи­ческого курса педвуза с соответствующим школьным предметом -принцип ведущей идеи. Реализация профессионально-педагогической направленности обучения предполагает, в частности, использование в конкретном математическом курсе педвуза всех возможностей для под­готовки студента - будущего учителя математики к ведению в школе факультативных занятий. С этой целью в учебное пособие для студен­тов, о котором идет речь во второй главе, мы включили большое число задач, которые при желании учитель математики сможет использовать в факультативном курсе по дифференциальным уравнениям в школе.

Экспериментальная работа, проведенная нами в течение ряда лет в Гянджинском государственном пединституте и Азербайджанском го­сударственном педуниверситете дала возможность выявить довольно широкий спектр разнообразных форм приобщения студентов к педаго­гической деятельности в процессе изучения курса дифференциальных уравнений.

К числу таких форм относится, например, студенческая лекция или студенческое практическое занятие. Речь идет о том, что конкрет­ную лекцию или ее фрагмент или конкретное практическое занятие ве­дет не преподаватель, а студент, который отобран и подготовлен зара­нее. Цели такого мероприятия разнообразны: это и непосредственное приобщение данного конкретного исполнителя к педагогической дея­тельности; это и призыв к другим студентам последовать примеру сво­его товарища; это и возможность обсудить прочитанную лекцию или

19

проведенное практическое занятие преподавателю совместно со студен­тами как с математической, так и методической и педагогической точек зрения; это, наконец, вносит определенное оживление в размеренный процесс чтения лекций и проведения практических занятий по данному курсу одним и тем же преподавателем. Наш опыт показал, что такая форма работы, особенно на старших курсах, вызывает определенный интерес у студентов.

Большие педагогические возможности заложены в семинарских занятиях. На семинары выносится теоретический материал, который оставлен студентам для самостоятельного изучения. Семинар проводят несколько студентов-докладчиков, причем после каждого доклада про­водится коллективное обсуждение услышанного по ряду параметров: научность и доступность; методические достоинства и недостатки; речь, поведение и владение доской; контакт с аудиторией и т.д. С педа­гогической точки зрения ценно то, что студенты приобретают опыт критического анализа педагогической деятельности.

Профессиональная деятельность учителя математики представля­ет собой совокупность отдельных видов деятельности. От степени со­вершенства в овладении ими зависит уровень профессиональной дея­тельности будущего учителя математики. Курс дифференциальных уравнений имеет очень большие возможности в плане обучения студен­тов основным видам профессиональной деятельности и формирования профессиональных умений. В процессе изучения курса студент учится анализировать учебно-методическую литературу, отбирать материал и конструировать из него предметное и ролевое содержание различных форм занятий, планировать свою работу, организовывать различные виды деятельности учащихся.

Для успешного претворения в жизнь указанных форм работы со студентами при изучении ими курса дифференциальных уравнений мы подготовили учебные пособия нового типа (они описаны во второй и третьей главах диссертации). Именно этими пособиями и пользуются наши студенты для подготовки самостоятельной студенческой лекции, практического или семинарского занятия.

Говоря о профессионально ориентированных формах организа­ции учебного процесса, нельзя не упомянуть те, что характерны именно для старших курсов, где изучается специальный курс дифференциаль­ных уравнений. Речь идет о курсовых и дипломных работах, научной работе студентов, спецкурсах и спецсеминарах. Эти формы раскрыва­ются в четвертом параграфе.

20

Раскроем общую концепцию курса дифференциальных уравнений, логически вытекающую из всего сказанного выше. В концентрирован­ном виде она представляет собой совокупность нескольких положений.

1) Курс дифференциальных уравнений мы рассматриваем не толь­ко и не столько как определенную порцшо новой информации, сколько как носителя гуманитарного потенциала математики, способствующего общему развитию будущего учителя математики.

2) Курс дифференциальных уравнений мы рассматриваем не как раздел математического анализа, а как самостоятельный курс (в тради­циях азербайджанских вузов - выделение указанного курса отдельной строкой учебного плана; насколько нам известно, в большинстве рос-сийских вузов курс дифференциальных уравнений рассматривается как раздел курса математического анализа). Вообще в системе многоуров­невой подготовки учителя математики целесообразно выделить базо­вые и завершающие математические дисциплины. К дисциплинам пер­вого уровня уместно отнести, например, математический анализ, ал­гебру, геометрию, элементарную математику. Курс дифференциальных уравнений - курс второго уровня.

3) В курсе математического анализа следует выделить пропедев­тическую содержательно-методическую линию дифференциальных уравнений.

4) В курсе дифференциальных уравнений следует широко исполь­зовать разнообразный спектр профессионально ориентированных форм учебной работы.

5) В постановке самого курса дифференциальных уравнений сле­дует органически сочетать содержательно-гуманитарный и абстрактно-теоретический уровни. Первый предполагает содержательную трактов­ку понятий, использование генетических определений и методов дока­зательств, локально логическую организацию материала, широкое привлечение правдоподобных рассуждений, повышенное внимание к прикладным аспектам. Второй уровень предполагает изучение учебно­го предмета как замкнутой в себе области знаний со своим кругом аб­страктных понятий, специфическим языком, арсеналом утонченных средств доказательных рассуждений.

В третьем параграфе речь идет о содержании курса дифференци­альных уравнений. Его программа в течение ряда лет эксперименталь­ной работы в Гянджинском государственном пединституте подверга­лась изменениям и коррективам. Приводится вариант, предложенный автором совместно с доцентом Джаббаровым Ш.Т. и утвержденный

21

кафедрой математического анализа и научным советом Гянджинского государственного пединститута в феврале 1995 года и кафедрой мате­матического анализа Московского педагогического государственного университета в июне 1995 года. Ответственные редакторы - доктор фи­зико-математических наук, профессор Московского государственного педагогического университета Горин Е.А. (вариант на русском языке), доктор физико-математических наук, профессор Бакинского государст­венного университета Марданов М.Д. (вариант на азербайджанском языке).

Студенты педвузов, как правило имеют не очень много возмож­ностей для приобщения к научно-исследовательской работе в области математики, будущие учителя активнее включаются в научно-методическую работу, осуществляют педагогические эксперименты и т.д. Что касается НИРС, то она проявляется в основном по трем на­правлениям: через систему курсовых и дипломных работ, посредством участия в работе научных студенческих обществ (например, в форме докладов на конференциях НСО), посредством участия в работе спец­курсов и спецсеминаров. Каждому из указанных трех направлений в четвертом параграфе посвящен отдельный пункт.

Важное место в общей системе профессиональной подготовки бу­дущего учителя математики занимают курсовые работы. Эта организа­ционная форма обучения направлена прежде всего на развитие позна­вательной активности, самостоятельности студента, на привитие ему навыков исследовательской работы, на приобретение им опыта собст­венной математической деятельности. Реализация указанных функций зависит в первую очередь от гуманитарной и профессионально-педагогической направленности тематики курсовых работ.

В этом смысле интересен опыт кафедры математического анализа МГЗПИ (в настоящее время МГОПУ), которая в течение нескольких лет собирала и анализировала тематику курсовых работ ряда педин­ститутов России и пришла к выводу, что профессионально-педагогиче­ская направленность может реализовываться в темах курсовых работ по трем основным линиям; темы методологического и историко-математического характера; темы, ориентирующие на углубленное изучение школьного курса математики; темы, ориентирующие не уг­лубленное изучение некоторых разделов того или иного математиче­ского курса.

Реализуя и развивая эту идею, мы составили список тем курсовых работ по дифференциальным уравнениям, которые в течение ряда лет

22

предлагали студентам Гянджинского государственного педагогическо­го института, Азербайджанского государственного педагогического университета и Московского педагогического государственного уни­верситета. При этом необходимо учесть, что в последние годы в педву­зах все более и более активно развивается система дипломных работ, но в подавляющем большинстве дипломные работы пишутся студентами по методике преподавании математики, психологии, педагогике. При­чина не только в том, что эти темы ближе студентам по роду их буду­щей профессиональной деятельности, но и в том, что тематика этих ра­бот, как правило конкретна и вполне определенна. Привлечь студентов к написанию дипломных работ по математике, что, кстати, не менее полезно для их становления как педагогов (с уклоном в сторону педаго­гов-исследователей), можно лишь в случае, если предложенная им те­матика будет вполне конкретной, определенной, доступной по литера­турным источникам, интересной и, что вероятно следует вывести на первый план, напрямую связана с тематикой курсовых работ. Тогда студент имеет возможность постепенно входить в интересующую его математическую проблематику, пройдя при этом три существенных этапа: курсовая работа, доклад на конференции научного студенческо­го общества, дипломная работа.

Также в этом параграфе приведены 12 тем курсовых работ из на­шего списка с краткой аннотацией (то есть в таком виде, в каком они предлагаются студентам). При этом мы включили в указанный пере­чень только те курсовые работы, которые могли бы естественно пере­расти в дипломные работы с промежуточным этапом в виде доклада на конференции НСО.

Еще одной формой приобщения студентов к научно-исследовательской работе являются спецкурсы и спецсеминары. Фак­тически уже из перечня тем курсовых и дипломных работ легко сделать вывод о возможности постановки самых разнообразных спецкурсов и спецсеминаров, которые в той или иной степени решают задачи полно­ценной реализации гуманитарного и профессионально-педагогического потенциала курса дифференциальных уравнений, способствуют углуб­ленному изучению тех или иных разделов курса, помогают студентам в выборе тем курсовых и дипломных работ, в подготовке докладов на конференции научного студенческого общества. В диссертации приве­дены примеры тем некоторых спецкурсов и спецсеминаров, дана де­тальная разработка одного из них.

23

Если первая глава диссертации носит по преимуществу теоретиче­ский характер, то вторая, третья и четвертая главы более конкретны. Во второй и третьей главах раскрываются пути реализации гуманитар­ной и профессионально-педагогической направленности курса диффе­ренциальных уравнений в учебных пособиях нового типа, одним из ав­торов которых является автор настоящего исследования. Обсуждая гу­манитарные составляющие практически любого математического курса педвуза, мы выделили в числе ведущих четыре компонента, вносящих наибольший вклад в формирование общей и математической культуры студента: методологическая и прикладная направленность курса, мате­матическое моделирование, межпредметные связи. В первой главе, об­суждая профессионально-педагогические составляющие математиче­ского курса педвуза, мы заострили внимание на тех компонентах, кото­рые вносят наибольший вклад в формирование методической культуры будущего учителя математики. В совокупности получился весьма об­ширный набор требований к математическому курсу и, естественно, к преподавателю педвуза, который излагает этот курс студентам. Но из­вестно, сколь бы ни был подробен и обоснован набор требований, ус­тановок, принципов, сколь бы логичной и детерминированной ни была выстроенная концепция, она остается мертворожденной схемой на уровне деклараций, пока не дан конкретный образец ее реализации. Именно такое значение мы и придаем материалу, включенному во вто­рую и третью главы, где в конспективном виде представлены учебные пособия для занятий по курсу дифференциальных уравнений, по струк­туре и идейному наполнению отличающиеся от традиционных пособий.

Отметим наиболее существенные методические особенности этих пособий.

1. Практически в каждое домашнее задание включается задача на составление дифференциального уравнения, В традиционной методике задачам на составление дифференциальных уравнений отводится одно, максимум два практических занятия. Этого явно недостаточно для по­нимания важности и многообразия использования дифференциальных уравнений, для полноценной реализации гуманитарных и профессио­нально-педагогических компонентов курса, о которых шла речь выше. "Задачная линия" в базовом курсе дифференциальных уравнений долж­на быть сквозной.

2. Пособия содержат целый ряд оригинальных задач, решение ко­торых требует изображения интегральных кривых на координатной плоскости. Подчеркнем принципиальную важность для понимания

24

многих вопросов курса умения студентов решать такие задачи и пра­вильно изображать на чертеже интегральные кривые. Вид интег­ральных кривых бывает весьма разнообразным, поэтому студенты ав­томатически вынуждены вспомнить многие разделы математического анализа, дающие выход на построение графиков, что очень важно для будущего учителя математики.

3. Принципиальной методической особенностью пособий являет­ся систематическое и целенаправленное подведение студента к понима­нию проблем, связанных с математически строгой формулировкой за­дачи "решить дифференциальное уравнение". Хотелось бы сделать это понятие таким же естественным для студентов, как задача Коши, на­чальные и граничные условия и т.д. Дело в том, что студентам, как правило, не дается математически корректная формулировка задачи "решить дифференциальное уравнение". Обычно эта задача понимается как нахождение всех решений дифференциального уравнения, что на самом деле практически никогда невыполнимо (за исключением, может быть, линейных уравнений). С другой стороны записав ответ на по­ставленную задачу "решить дифференциальное уравнение" в виде Р(х, у, С) = О, мы не в состоянии дать вразумительное объяснение, по­чему тем самым задача о решении дифференциального уравнения счи­тается выполненной. В пособиях предлагается нетрадиционный способ разрешения возникших при этом вопросов.

Естественно, что в диссертации представлены лишь те параграфы пособий, которые в совокупности дают достаточно полное представле­ние об указанных выше методических особенностях пособий в целом.

Пособие "Практические занятия по обыкновенным дифференци­альным уравнениям" полезно будущему учителю математики не только потому, что с его помощью он знакомится с еще одной, пока ему незна­комой главой математики, но и потому, что оно по своей методологи­ческой направленности дает хороший пример организации изучения нового материала.

Изучение дифференциальных уравнений в педагогическом вузе по этому пособию требует четкой организации всего учебного процесса. Необходимо произвести "расчасовку" выделенного учебным планом времени, т.е. распределение количества часов, необходимых для про­хождения конкретной темы. При этом выделяются те задачи, которые должны быть проработаны на занятии в аудитории, задачи для само­стоятельной работы дома и дополнительные задачи, работа над ко­торыми поможет закрепить новый материал.

С точки зрения последовательности изучения предлагаемого ма­териала данное пособие также может служить хорошей иллюстрацией к

25

осуществлению на практике требования отдавать приоритет при изуче­нии какой-либо сложной математической теории не формально­логическому построению курса, а идги в этом изучении от простого к сложному. Действительно, с позиций формальной логики следовало бы перед изучением методов интегрирования различных уравнений мате­матически строго сформулировать задачу об интегрировании этих уравнений, а потом уже изучать различные методы интегрирования. Однако такой путь вряд ли был бы успешным. Ведь студент, не умея еще интегрировать даже простые уравнения, не готов к пониманию сложностей, связанных с математической формулировкой задачи о ре­шении дифференциального уравнения. Поэтому мы считали разумным сначала лишь обозначить проблему, поставив перед студентами вопрос: что значит решить (проинтегрировать) данное дифференци­альное уравнение? При этом сразу устанавливается, что при естествен­ном понимании этой задачи как задачи получения всех решений урав­нения, мы оказываемся в тупике даже при решении самых простых дифференциальных уравнений. После этого мы переходим к изучению методов интегрирования различных дифференциальных уравнений первого и второго порядков, заявив, что будем пока понимать выпол­няемую задачу не строго математически, а на интуитивном уровне. Лишь обучив студента технике интегрирования различных диф­ференциальных уравнений, мы снова возвращаемся к ранее обозначен­ной проблеме о конечной цели наших операций над предло­женным дифференциальным уравнением. Сейчас студент уже владе­ет техникой интегрирования и, используя полученный при этом опыт, он значительно легче осознает и смысл вводимых понятий, связанных с эквивалентным преобразованием решаемого уравнения и необходи­мость введения этих понятий. Здесь же полезно будет объяснить, что употребляемые во многих учебных пособиях понятия общего и особого решений неэффективны при постановке и выполнении задачи про­интегрировать дифференциальное уравнение. Полезно будет убе­дить студента, что с точки зрения формальной логики, конечно можно формулировать интересующую нас задачу как задачу о нахож­дении общего и всех особых решений исследуемого уравнения. Однако, ответы в любом сборнике задач по дифференциальным уравнениям сразу убедят нас в том, что там приведен ответ, ничего общего с этими понятиями не имеющий.

При этом хотелось бы остановиться на необходимости рассмот­рения указанных выше вопросов именно в педагогическом вузе. За­метим, что среди многочисленных учебных пособий но дифференци­альным уравнениям нет таких, которые как-то ставили и разрешали бы

26

вопросы, связанные с математической корректностью задачи об интег­рировании дифференциальных уравнений. Для инженерных вузов эта естественно-математическая формулировка задачи об интегрировании дифференциальных уравнений не актуальна, достаточно обойтись уме­нием решать линейные уравнения, где все можно аккуратно сделать, оперируя понятием общего решения. Правда тут можно отметить ряд работ А.Ф.Филиппова. Но это у него делается не в общем курсе диффе­ренциальных уравнений, а в специальном курсе.

Для будущих же учителей эта проблема весьма актуальна. Из­вестно сколь важно для школьников умение эквивалентного преоб­разования различных алгебраических и тригонометрических уравне­ний. Здесь все время сталкиваешься с потерей корней и приобретением новых. Из математических предметов, изучаемых в вузе, именно диф­ференциальные уравнения дают будущему учителю наилучшую прак­тику в этих вопросах. А для этого необходимо, чтобы задача интегри­рования дифференциальных уравнений была сформулирована так, что­бы ее выполнение требовало эквивалентных преобразований над исходным уравнением. Именно в этом нам видится главный ме­тодологический аспект предлагаемого учебного пособия.

Что касается вопросов межпредметных связей и прикладной направленности курса дифференциальных уравнений, изучаемого по данному учебному пособию, то в нем реализованы установки первого параграфа первой главы диссертации. Наиболее тесная связь здесь как обычно, существует с общим курсом математического анализа, без зна­ния которого невозможно освоить технику интегрирования дифферен­циальных уравнений. Необходимость хорошо разбираться в вопросах линейной алгебры проявляется (как и при традиционных способах изу­чения) при рассмотрении темы "Линейные дифференциальные уравне­ния". Предлагаемые в каждом задании на дом физические и геометри­ческие задачи говорят и о прикладной направленности курса, и о меж­предметных связях с физикой, геометрией, химией, экологией, био­логией и т.д. Необходимо отметить систематичность рассмотрения тек­стовых задач. В традиционных учебных пособиях этого обычно не тре­буется. Однако, наш опыт работы убеждает нас в громадной пользе именно систематического рассмотрения на протяжении всего курса дифференциальных уравнений текстовых задач.

Подтверждением этому являются конкретные задачи, рассмот­ренные в диссертации, например, задача о работе сердца и математиче­ская модель биологической проблемы, связанной с существованием различных видов животных, известной как задача "хищник-жертва". Решение этих задач вплотную подводит студента к осознанию тех 4-х

27

компонентов гуманитного потенциала образования, о которых говори­лось выше.

Опыт использования пособия в Гянджинском государственном педагогическом институте, Азербайджанском государственном педаго­гическом университете и в Московском педагогическом государствен­ном университете показал, что каких-либо существенных корректив в предлагаемую этим пособием методику вводить не следует. Из-за недостатка времени некоторые из разобранных в пособии тем могут быть изучены студентами самостоятельно. Такими темами могут быть, "Уравнения, не разрешенные относительно старшей производной" и "Уравнения Лагранжа и Клеро". Отметим, что при этом необходимо проверить, насколько студенты усвоили материал. Это наиболее ра­зумно сделать, дав каждому из них "большое домашнее задание", где требуется, например, решить уравнение вида у = ау'х + (у')2 и постро­ить интегральные кривые этого уравнения. При этом каждому студенту даются свои значения параметра а.

Предлагаемое в третьей главе рассмотрение вопросов курса "Дифференциальные уравнения с частными производными" в педаго­гических вузах отвечает общим требованиям, сформулированным в первой главе в отношении общих компонентов, вносящих наибольший вклад в формирование математической культуры будущего учителя.

В самом деле, если говорить о методологической направленности этого курса, то в первую очередь заметим, что он изучается на матема­тическом факультете обычно в конце обучения. Надо учитывать, что с момента окончания изучения математического анализа и связанных с ним математических предметов уже прошло немало времени и многие из этих вопросов уже забыты студентами. Поэтому возникает задача не столько познакомить их с какими-то новыми разделами математики сколько напомнить то, что они уже когда-то изучали в математическом анализе. В связи с этим нами установлено, что в этом курсе не следует рассматривать также такие традиционные для него вопросы, как пара­болические и эллиптические уравнения. Достаточно ограничиться рас­смотрением гиперболических уравнений. При этом обязательно надо уделить должное внимание формуле Даламбера и связанным с ней во­просам построения графической формы бесконечной и особенно полу­бесконечной струны. Практика показывает, что при этом вспоминают­ся и хорошо закрепляются когда-то изученные, но уже основательно забытые методы построения графиков функций с помощью их линей-

28

ных преобразований. При этом хорошо иллюстрируется вопрос о не­прерывности первообразной, используемой для применения формулы Ньютона-Лейбница. В отличие от традиционных курсов по уравнениям с частными производными здесь предлагается больше внимания уде­лить задаче Коши. Это очень полезно для будущего учителя в связи с тем, что решение таких задач закрепляет в его сознании понятие слож­ной функции и все вопросы, связанные с нахождением первых и осо­бенно вторых производных таких функций. Эти вопросы обычно изу­чаются на втором курсе при рассмотрении функций многих перемен­ных. Там сама техника дифференцирования отрабатывается из-за не­достатка времени весьма фрагментарно. Это естественно, поскольку математическая формулировка такой задачи в курсе математического анализа звучит очень тяжеловесно. В курсе же уравнений с частными производными эта задача возникает сама собой и ее постановка не вы­зывает недоумения у студентов.

Остановимся еще на одной отличительной особенности данного курса. Речь идет о геометрическом смысле задачи Коши. Как правило, этим вопросам в педвузах не уделяется сколько нибудь существенного внимания. В результате лишь незначительная часть обучаемых может разумно объяснить геометрический смысл задачи Коши. Особое за­труднение вызывает понимание смысла задания производной по ко-сательной и по нормали к некоторой кривой. Здесь необходимо хоро­шо понимать ряд вопросов дифференциальной геометрии, но как пра­вило этот раздел весьма поверхностно изучается в курсе геометрии. Рассмотрение этих вопросов в курсе дифференциальных уравнений с частными производными не только является иллюстрацией к богатым межпредметным связям данного курса, но и способствует более глубо­кому пониманию ряда уже изученных ранее тем.

Курс дифференциальных уравнений в частных производных ха­рактеризуется своей прикладной направленностью. Ведь решаемые здесь задачи возникают из практической деятельности человека. Для подчеркивания этой особенности рекомендуется в каждое домаш­нее задание включать по одной задаче на составление уравнений из числа задач, приведенных в одном из разделов пособия.

Практическая проверка эффективности изучения курса уравнений с частными производными проводилась в Гянджинском государствен­ном педагогическом институте, Азербайджанском государственном пе­дагогическом университете и Московском педагогическом государст­венном университете. Результаты оказались весьма положительными.

29

Можно констатировать усвоение большинством студентов основных понятий этого курса и выработку достаточно прочных навыков по их практическому применению.

Четвертая глава посвящена использованию компьютера при обу­чении дифференциальным уравнениям. Самое главное достоинство свя­зано с возможностью индивидуализировать обучение, заставить обу­чаемого изучать такие науки, как математика, в соответствии с той скоростью, с которой данный студент способен усваивать новый мате­риал. Применение компьютеров значительно упрощает проблему про­верки степени усвоения этого материала.

Из многочисленных обучающих систем, созданных за последнее время, с нашей точки зрения наиболее подходит автономная обучаю­щая система "Диана". Написанный под эту систему обучающий сцена­рий по наиболее важной для усвоения будущими учителями теме курса дифференциальных уравнений "Линейные системы с постоянными коэффициентами" иллюстрирует выполнение всех выше указанных осо­бенностей обучения. Мы считаем, что с методологической стороны та­кое обучение должно оказаться эффективнее традиционного, поскольку при традиционном способе обучения невозможно обеспечить ни инди­видуализацию обучения, ни изучения нового материала со скоростью, приемлемой только для данного обучаемого, ни строгой последова­тельности при изучении этого материала, т.е. изучении его в соответ­ствии с принципом от простого к сложному.

Для будущего учителя изучение данной темы с помощью компью­тера важно еще и потому, что это должно убедить его в эффективности применения компьютеров при обучении. Можно надеяться, что, став учителем, он будет стремиться также использовать компьютер для обу­чения. И только тогда, когда в силу компьютерного обучения пове­рит большинство преподавателей как школы, так и вуза, можно наде­яться на перелом в сознании общества относительно возможностей компьютера.

Отметим, что изучение теоретического материала начинается практически с нуля и без помощи преподавателя. В каждом блоке все ошибки комментируются и, в зависимости от характера ошибки, сту­дент адресуется к соответствующему обучающему циклу. В итоге вы­свобождается время преподавателя, осуществляется индивидуальный подход в процессе обучения, так как в любое свободное время студент может прийти и самостоятельно изучить интересующий его материал. Причем затратить на это столько времени, сколько ему необходимо.

30

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Выделены компоненты гуманитарного потенциала курса диффе­ренциальных уравнений: понимание сущности прикладной направлен­ности обучения математике, овладение методом математического моде­лирования, умения осуществлять в обучении межпредметные связи, про­фессионально-педагогическая направленность.

2. Определены шесть целевых установок, которые следует реализо­вать при постановке курса дифференциальных уравнений в педвузе. Это:

- воспитание научного мировоззрения;

- формирование достаточного для работы в школе уровня матема­тических знаний, умений и навыков, в частности, прикладных умений;

- формирование высокого уровня математического мышления;

- обеспечение определенного опыта математической деятельности, включающей в себя построение математических моделей реальных про­цессов, разработку аппарата для исследования математических моделей, умение преобразовать научный материал в учебный, т.е. умение осмыс­лить фрагмент научной теории и дидактически препарировать его во фрагмент учебной дисциплины;

- формирование достаточно высокого уровня математической культуры, к числу компонентов которой, реализуемых в курсе диффе­ренциальных уравнений, можно отнести умение выбрать правильное со­отношение между содержательным и формальным, между строгостью и наглядностью, умение выбрать уровень строгости и полноты изложения адекватно целям и задачам обучения;

- воспитание интереса к математике, развитие математических спо­собностей.

3. В работе показано, как на материале курса дифференциальных уравнений можно наполнить конкретным содержанием следующие ком­поненты методической модели курса:

- мотивация;

- пропедевтика;

- обучение студентов математическому моделированию;

- прямое и косвенное обучение студентов принципам дидактики;

- обучение студентов реализации и правильному пониманию меж­предметных связей;

- критический анализ школьных учебных пособий (по базовому и дополнительным курсам).

31

4, В процессе исследования нами обоснована концепция курса дифференциальных уравнений, состоящая из пяти положений:

1J Курс дифференциальных уравнений мы рассматриваем не'только и не столько как определенную порцию новой информации, сколько как носителя гуманитарного потенциала математики, способствующего об­щему развитию будущего учителя математики.

2) Курс дифференциальных уравнений мы рассматриваем не как раздел математического анализа, а как самостоятельный курс.

3) В курсе математического анализа следует выделить пропедевти­ческую содержательно-методическую линию дифференциальных уравне­ний.

4) В курсе дифференциальных уравнений следует широко исполь­зовать разнообразный спектр профессионально ориентированных форм учебной работы.

5) В постановке самого курса дифференциальных уравнений следу­ет органически сочетать содержательно-гуманитарный и абстрактно-теоретический уровни.

5. В исследовании представлена разработанная автором программа курса дифференциальных уравнений, а также та часть курса, которую целесообразно включить в программу госэкзамена.

6. Проанализированы возможности приобщения студентов к науч­но-исследовательской работе по дифференциальным уравнениям через систему курсовых и дипломных работ, а также через систему спецкурсов и спецсеминаров.

7. Раскрыты пути реализации гуманитарной и профессионально -педагогической направленности курса дифференциальных уравнений в учебных пособиях нового типа, одним из авторов которого является ав­тор настоящего исследования.

8. Исследованы возможности компьютера при обучении диффе­ренциальным уравнения, создана автономная обучающая система, кото­рая может работать в обучающем режиме без непосредственного участия преподавателя до тех пор, пока это участие не становится необходимо­стью.

Таким образом, в ходе исследования решены все поставленные за­дачи, построена методическая система обучения дифференциальным уравнения в педвузе (сформулированы цели изучения дифференциальных уравнений в педвузе, разработано содержание курса, методы и формы его изучения - от лекционных и практических занятий до госэкзаменов и НИРС, описаны возможности компьютера как средства обучения).

32

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

Книги

1. Математический анализ (Учебное пособие для педвузов на азербай­джанском языке). - Кировобад, 1987. -134 с. (в соавторстве).

2.   Практические занятия по дифференциальным уравнениям. (Учебное пособие для студентов пединститутов). - М.: Прометей, 1991- - 128 с. (в соавторстве).

3.  Абитуриент, студент, преподаватель (на азербайджанском языке). -Гянджа, 1992. - 71 с. (в соавторстве).

4.   Технические средства информатики и их применение. (Учебные посо­бия для вузов на азербайджанском языке). - М.: Прометей, 1994. -97 с. (в соавторстве).

5.   Гуманитарный потенциал профессионально ориентированного курса дифференциальных уравнений в педвузе. Монография. - М.: Проме­тей, 1996. - 129с.

6.  Дифференциальные уравнения с частными производными. Теория. Примеры. Задачи. (Учебное пособие для студентов математических факультетов педуниверситетов и пединститутов). - М.: Прометей, 1997 -184 с. (в соавторстве).

Статьи, доклады, тезисы докладов и программы

7.   Комплексное представление регулярных решений одного класса эл­липтических уравнений. // Материалы научной конференции молодых исследователей, посвященной торжествам полувекового юбилея АПИ им. В.И. Ленина (13-15 февраля 1973), Баку, 1973. - С. 109-114.

8.   Об одном представлении регулярных решений нагруженных диффе­ренциальных уравнений в линейных нормированных кольцах. // Тру­ды АзСХИ им. С.Агамалиоглы, серия механизации, выпуск 27, Киро­вобад, 1975.-С. 162-167.

9.   Задача Дирихле для неэрмировых решений уравнения Лапласа в кольце с инволюцией. // Сборник трудов молодых ученых, (АзНИИМЭСХ) выпуск 2, Кировобад, 1975. - С. 199-201.

10. Задача Дирихле для векторного уравнения Лапласа. // Сборник тру­дов молодых ученых, ( АзНИИМЭСХ ) выпуск 3, Кировобад, 1976. -С. 159-166.

11. Комплексное представление для векторных регулярных решений од­ного класса эллиптических уравнений. // Труды АзСХИ им. С.Агамалиоглы, серия механизации, выпуск 28, Кировобад, 1976. -С. 159-163.

33

12. Функции Римана для эллиптических уравнений 2-го порядка в нор­мированных кольцах. // Материалы конференции по прикладной ма­тематики, посвященной 25-летию Института математики и механики АН Азерб. ССР, Баку: Элм, 1984. - С. 25-27.

13. Интегральные уравнения типа Вольтерра в нормированных кольцах. // Материалы V Республиканской конференции молодых ученых по математике и механике, посвященной 25 летаю ИММ АН Азерб. ССР, том I (математика), (21-24 мая 1984), Баку: Элм, 1984. - С. 31-35.

14. Применение принципа сжимающих отображений к одной бесконеч­ной системе дифференциальных уравнений. // Материалы V Респуб­ликанской конференции молодых ученых по математике и механике, посвященной 25-летию ИММ АН Азерб. ССР, том I (математика), (21-24 мая 1984), Баку: Элм, 1984. - С. 36-39.

15. Неэрмитовые решения полигармонического уравнения в нормиро­ванном кольце с инволюцией. // Программирование решение при­кладных задач (Межвузовский сборник трудов МГПИ им. В.И. Ле­нина), Москва, 1984. - С, 34-36.

16. Неэрмитовые решения лолигармонического уравнения в нормиро­ванном кольце с инволюцией. // Челябинский Политехнический ин­ститут им. Ленинского комсомола, Сибирское отделение АН СССР. Институт математики, XI Всесоюзная школа по теории операторов в функциональных пространствах. Тезисы докладов (26-30 мая 1986), часть III, Челябинск, 1986. - С. 14.

17. Роль ЭВМ в развитии народного хозяйства страны. // Материалы на­учно-практической конференции (на азербайджанском языке), Даш-кесан, 1987. - 3 с. (в соавторстве).

18. Программа языка Бейсик и его применение в ДВК. // Материалы на­учно-практической конференции (на азербайджанском языке), Даш-кесан, 1987. - 3 с. (в соавторстве).

19. Использование краевых задач в курсе математики средней школы. // Интенсификация учебного процесса как средство профессиональной подготовки будущего учителя математики. (Тезисы Всероссийского межвузовского семинара), Ярославль, 1990. - С. 59 (в соавторстве).

20. Совершенствование техники арифметических вычислений в процессе изучения математического анализа в педагогических институтах. // Психолого-педагогические основы преподавания математических дисциплин в пединституте. Обучение и развитие. (Тезисы Всероссийско­го межвузовского семинара), Ульяновск, 1991. -С. 54 (всоавторстве).

21. Дидактические особенности различных способов введения понятия

34

интеграла в педвузе. // Психолого-педагогические основы преподава­ния математических дисциплин в пединституте. Обучение и развитие. (Тезисы Всероссийского межвузовского семинара), Ульяновск, 1991. -С. 60 (в соавторстве).

22. Обеспечение учебно-методических пособий по матанализу студентов математического факультета Гянджинского пединститута. // Пробле­мы учебно-методического обеспечения учебного процесса. (Тезисы Всероссийского семинара преподавателей математики педвузов), Мо­сква - Рязань, сентябрь 1991. - С. 20 (в соавторстве).

23. Об изучении темы "Равносильность уравнений" в курсе элементар­ной математики. // Курс элементарной математики в системе подго­товки учителя. (Тезисы докладов X Всероссийского семинара препо­давателей математики педвузов), Чебоксары, апрель 1992. - С. 93 (в соавторстве).

24. К вопросу о межпредметных связях темы "Функциональные последо­вательности", // Межпредметные и внутрипредметные связи математи­ческих курсов пединститута. (Тезисы Всероссийского семинара препо­давателей математики педвузов), Коломна, сентябрь 1992. - С. 24. (в соавторстве).

25. Обобщение интеграла Лебега. //Тезисы докладов итоговой научно-исследовательской конференции за 1991 год, Гянджинского государ­ственного педагогического института им. Г.Зардаби (на азербай­джанском языке), Гянджа, 1992. - С. 94-95. (в соавторстве).

26. К вопросу о программе курса математического анализа при двухсту­пенчатой форме обучения. // Проблемы двухступенчатой подготовки учителя математики в педвузах. (Тезисы Всероссийского семинара преподавателей педвузов), Липецк, сентябрь 1993. - С. 144. (в соав­торстве).

27. О преподавании некоторых глав математического анализа в связи с расширением понятия интеграла.// Международная конференция "Подготовка преподавателя математики для высшей и средней шко­лы" , МПГУ, (24-26 мая 1994), часть 1. М., 1994. - С. 40-41.

28. Обучающая программа "тригонометрические функции острого уг­ла". // Международная конференция "Подготовка преподавателя ма­тематики и информатики для высшей и средней школы", МПГУ, (24-26 мая 1994), часть 2. М., 1994. - С. 34-35. (в соавторстве).

29. Об активизации учебной работы студентов математического факуль­тета Гянджинского госпединститута в процессе изучения математиче­ского анализа. // Подготовка учителя математики в педвузах в уело-

35

виях профильной и уровневой дифференциации обучения в школах. (Тезисы докладов XIII Всероссийского семинара преподавателей ма­тематики педвузов), Елабуга, сентябрь 1994. - С. 10.

30. Дифференциальные уравнения в стандарте специальной подготовки учителя математики. // Проблемы стандарта подготовки учителей математики в педагогических вузах. (Тезисы докладов XIV Всерос­сийского семинара преподавателей математики педагогических ву­зов), Орск, октябрь 1995. - С. 84. (в соавторстве).

31. Дифференциальные уравнений. (Программа для пединститутов и пе-дуниверситетов, на русском и азербайджанском языках). - Москва-Гянджа, 1995. - 25 с. (в соавторстве).

32. Програмное обеспечение по курсу "Дифференциальные уравнения" в педвузе. // Избранные проблемы из разных областей науки. (Научные труды Гянджинского государственного педагогического института им. Г.Зардаби, на азербайджанском языке), Гянджа, 1995, - С. 53.

33. Гуманитарный потенциал курса дифференциальных уравнений в пед­вузе. // Научные труды Московского педагогического государствен­ного университета им. В.И. Ленина, серия: естественные науки, М.: Прометей, 1996. - С. 43-44.

34. Теоремы о среднем значении при исследовании дифференциальных уравнений. // Тезисы докладов XXXII научной конференции факуль­тета физико-математических и естественных наук Российского Уни­верситета Дружбы Народов, часть 2, математические секции (28 мая -2 июня 1996), Россия, Москва, 1996. - С. 29.

35. Гуманитарный потенциал курса дифференциальных уравнений. // Гуманитарный потенциал математического образования в школе и педвузе. (Тезисы докладов XV Всероссийского семинара преподава­телей математики педагогических вузов, посвящается 200-летию РГПУ им. А.И. Герцена), Санкт-Петербург: Образование, 1996. -С. 54-55.

36. Дифференциальные уравнения. (Программа для математического факультета МПГУ им. В.И. Ленина, по специальности 540101 - мате­матика). - М.: Прометей, 1996. - 8 с. (в соавторстве).

37. Новые элементы структурной схемы обучающей программы "Адаптивный лабиринт". // Комплексный анализ и его приложения. (Межвузовский сборник научных трудов. Московский педагогиче­ский государственный университет им. В.И. Ленина), М.: Прометей, 1996.-С. 62-65.

38. Применение компьютера для изучения дифференциальных уравнений.

36

// Комплексный анализ и его приложения. (Межвузовский сборник научных трудов. Московский педагогический государственный уни­верситет им. В.И. Ленина), М.: Прометей, 1996. - С. 65-66.

39. Гуманитарный потенциал курса дифференциальных уравнений в пед­вузе. // Научные труды МПГУ им. В.И.Ленина, серия: естественные науки, М.: Прометей, 1996 - С. 43-44.

40. Дифференциальные уравнения и государственный экзамен по мате­матике в педвузе. // Научные труды МПГУ им. В.И.Ленина, серия: ес­тественные науки, М.: Прометей, 1997 - С. 304-305.